# Kiem tra SageMath da duoc cai dat
version()

'SageMath version 10.5, Release Date: 2024-12-04'

# Khai bao bien co ban
a = 10          # So nguyen
b = 3.14        # So thuc
c = "SageMath"  # Chuoi
lst = [1, 2, 3] # Danh sach
flag = True     # Boolean

a, b, c, lst, flag

(10, 3.14000000000000, 'SageMath', [1, 2, 3], True)

# Phep toan so hoc
x = 2
y = 5
x + y, x * y, x^y, x**y, pow(x, y)

(7, 10, 32, 32, 32)

#### Hiển thị kết quả với `show()`

# Hien thi bieu thuc va ma tran
var('x')
f = x^2 + 2*x + 1
show(f)

M = matrix([[1, 2], [3, 4]])
show(M)

# Khai bao bien va bieu thuc
var('x y')
f = (x + y)^3

# Khai trien bieu thuc
expand(f)

x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3

# Rut gon bieu thuc
g = (x^2 - 1)/(x - 1)
simplify(g)

(x^2 - 1)/(x - 1)

# Phan tich nhan tu
h = x^2 - 5*x + 6
factor(h)

(x - 2)*(x - 3)

# Giai phuong trinh bac hai
solve(x^2 - 5*x + 6 == 0, x)

[x == 3, x == 2]

# Giai he phuong trinh
var('x y')
solve([x + y == 4, x - y == 2], x, y)

[[x == 3, y == 1]]

# Dao ham
f = sin(x^2)
diff(f, x)

2*x*cos(x^2)

# Dao ham cap cao
diff(f, x, 2)

-4*x^2*sin(x^2) + 2*cos(x^2)

# Tich phan bat dinh
integrate(exp(-x^2), x)

1/2*sqrt(pi)*erf(x)

# Tich phan xac dinh
integrate(x^2, (x, 0, 2))

8/3

# Gioi han
limit(1/x, x=0, dir='right')

+Infinity

# Khai bao so phuc
z1 = 2 + 3*I
z2 = 1 - I

# Cong, tru, nhan, chia
z1 + z2
z1 - z2
z1 * z2
z1 / z2

5/2*I - 1/2

# Mo-dun (module) cua so phuc
abs(z1)

sqrt(13)

# Phan thuc va phan ao
real(z1)
imag(z1)

3

# Lien hop
z1.conjugate()

-3*I + 2

# Can bac hai cua so phuc
sqrt(z1)

sqrt(3*I + 2)

# Luy thua so phuc
z1^2

12*I - 5

# Chuyen sang dang luong giac (polar form)
z = 1 + I
r = abs(z)
theta = arg(z)  # goc
(r, theta)

(sqrt(2), 1/4*pi)

# Giai phuong trinh co nghiem phuc
var('x')
solve(x^2 + 1 == 0, x)

[x == -I, x == I]

# Ve cac so phuc tren mat phang
G = list_plot([(real(z1), imag(z1)), (real(z2), imag(z2))], 
              plotjoined=False, marker='o', color='blue', 
              axes_labels=['Re', 'Im'], aspect_ratio=1)
G.show()

# Ve mot diem
p = point((2, 3), color='red', size=30)

# Ve mot doan thang
l = line([(0, 0), (2, 3)], thickness=2, color='blue')

# Hien thi dong thoi
(p + l).show()

# Duong tron tam (0, 0), ban kinh 2
circle((0, 0), 2, color='green').show()

# Ve elip bang parametric_plot
t = var('t')
ellipse = parametric_plot((3*cos(t), 2*sin(t)), (t, 0, 2*pi), color='purple')
ellipse.show()

# Ve ham y = sin(x) tren [-pi, pi]
x = var('x')
plot(sin(x), (x, -pi, pi), color='orange', thickness=2).show()

# Ve ham z = x^2 - y^2 tren mien [-2,2] x [-2,2]
x, y = var('x y')
plot3d(x^2 - y^2, (x, -2, 2), (y, -2, 2), color='cyan')

# Mat cau tam goc, ban kinh 1
x, y, z = var('x y z')
implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 == 1, (x, -1.5, 1.5), (y, -1.5, 1.5), (z, -1.5, 1.5), color='skyblue')

# Mat tru: x^2 + y^2 = 1
implicit_plot3d(x^2 + y^2 == 1, (x, -1, 1), (y, -1, 1), (z, -2, 2), color='green')

# Ve vector tu goc (0,0) den diem (2,3)
arrow((0, 0), (2, 3), color='red', width=2).show()

# Tao ma tran 2x2
A = matrix([[1, 2], [3, 4]])
show(A)

B = matrix([[2, 0], [1, 2]])

A + B          # Cong
A - B          # Tru
A * B          # Nhan
2 * A          # Nhan voi so
A.transpose()  # Chuyen vi

[1 3]
[2 4]

A.det()        # Dinh thuc
A.inverse()    # Ma tran nghich dao
A.rank()       # Hang cua ma tran

2

A^2            # Luy thua A mu 2
A.exp()        # Ma tran mu e^A

[-1/22*((sqrt(33) - 11)*e^sqrt(33) - sqrt(33) - 11)*e^(-1/2*sqrt(33) + 5/2)              2/33*(sqrt(33)*e^sqrt(33) - sqrt(33))*e^(-1/2*sqrt(33) + 5/2)]
[             1/11*(sqrt(33)*e^sqrt(33) - sqrt(33))*e^(-1/2*sqrt(33) + 5/2)  1/22*((sqrt(33) + 11)*e^sqrt(33) - sqrt(33) + 11)*e^(-1/2*sqrt(33) + 5/2)]

# He: x + 2y = 3, 3x + 4y = 7
A = matrix([[1, 2], [3, 4]])
b = vector([3, 7])
x = A.solve_right(b)   # Giai he Ax = b
show(x)

A.is_linearly_independent()        # Kiem tra vector hang
A.columns().is_linearly_independent()  # Vector cot

A.row_space()      # Khong gian hang
A.column_space()   # Khong gian cot

Free module of degree 2 and rank 2 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[1 1]
[0 2]

A.eigenvalues()        # Gia tri rieng
A.eigenvectors_right() # Vector rieng

[(-0.3722813232690144?, [(1, -0.6861406616345072?)], 1),
 (5.372281323269015?, [(1, 2.186140661634508?)], 1)]

A.diagonalization()    # Cheo hoa (neu duoc)

# Xac dinh ma tran chuyen co so tu B -> C
B = [vector([1, 0]), vector([1, 1])]
C = [vector([2, 1]), vector([1, 1])]
P = matrix(B).solve_right(matrix(C))
show(P)  # Ma tran chuyen tu co so B sang C

G = SymmetricGroup(3)  # Nhom doi xung bac 3 (S3)
G.list()               # Liet ke cac phan tu
G.order()              # Bac cua nhom
G.is_abelian()         # Kiem tra co phai nhom abel

False

R.<x> = PolynomialRing(QQ)    # Vanh da thuc bac 1 tren Q
f = x^3 + 2*x + 1
g = x^2 - 1
f + g, f * g, f % g           # Cong, nhan, chia lay du

(x^3 + x^2 + 2*x, x^5 + x^3 + x^2 - 2*x - 1, 3*x + 1)

F = GF(7)         # Truong huu han modulo 7
a = F(3)
b = F(5)
a + b, a * b, a^-1   # Cong, nhan, nghich dao

(1, 1, 5)

R = Integers(12)        # Tao mot Z/12Z
R(5) * R(7)             # Phep nhan trong vanh
R(5).is_unit()          # Kiem tra phan tu co nghich dao

True

f = x^3 + x + 1
f.is_irreducible()      # Kiem tra da thuc co nguyen to khong
f.factor()              # Phan tich thanh nhan tu

x^3 + x + 1

factorial(5)        # Giai thua 5

120

binomial(5, 2)      # To hop chap 2 cua 5

10

factorial(5)/factorial(5 - 2)  # Chinh hop chap 2 cua 5

20

X = [1, 2, 3]
P = [0.2, 0.5, 0.3]
expectation = sum(x * p for x, p in zip(X, P))        # Ky vong
variance = sum((x - expectation)^2 * p for x, p in zip(X, P))  # Phuong sai
expectation, variance

(2.10000000000000, 0.490000000000000)

n = 10
p = 0.3
binomial_probs = [binomial(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) for k in range(n + 1)]
bar_chart(binomial_probs, width=0.6, title='Phan phoi nhi thuc', axes=True)

var('P Q')
(P & Q).simplify_logic()     # P and Q
(P | ~Q).simplify_logic()    # P or not Q
(P.implies(Q)).truth_table()  # Bang chan tri

A = Set([1, 2, 3])
B = Set([3, 4, 5])
A.union(B), A.intersection(B), A.difference(B)

({1, 2, 3, 4, 5}, {3}, {1, 2})

sum(k for k in range(1, 11))  # Tong 1 + 2 + ... + 10

55

var('n p')
assume(p > 1)
f = 1 / n^p
sum(f, n, 1, oo)     # Chuoi zeta: hoi tu voi p > 1

sum(1/(n^p), n, 1, +Infinity)

var('x')
f = sin(x)
f.taylor(x, 0, 5)   # Khai trien Taylor cap 5 tai x = 0

1/120*x^5 - 1/6*x^3 + x

exp(x).taylor(x, 0, 6)  # Maclaurin la truong hop Taylor tai 0

1/720*x^6 + 1/120*x^5 + 1/24*x^4 + 1/6*x^3 + 1/2*x^2 + x + 1

t = var('t')
f = piecewise([[(0, pi), t], [(pi, 2*pi), 0]])  # Ham don gian
fourier_series = f.fourier_series_partial_sum(n=5, var=t, period=2*pi)
plot(fourier_series, (t, 0, 2*pi), color='red', legend_label='Fourier sum')

sum(1/n^2, n, 1, oo).is_convergent()  # True
sum(1/n, n, 1, oo).is_convergent()   # False

def f(x):
    return x^2 + 2*x + 1

[f(n) for n in range(5)]  # Tra ve danh sach gia tri cua f(n)

[1, 4, 9, 16, 25]

for i in range(1, 6):
    if i % 2 == 0:
        print(f"{i} la so chan")

2 la so chan
4 la so chan

@parallel
def g(n):
    return n^2

list(g(n) for n in range(5))  # Chay song song cac gia tri

[0, 1, 4, 9, 16]

var('x y')
f = (x - 2)^2 + (y + 3)^2
minimize = find_minimum_on_interval(lambda t: (t - 2)^2, 0, 5)
minimize

from sage.numerical.mip import MixedIntegerLinearProgram

p = MixedIntegerLinearProgram(maximization=True)
x = p.new_variable()
p.set_objective(3*x[0] + 2*x[1])
p.add_constraint(x[0] + x[1] <= 4)
p.add_constraint(x[0] >= 0)
p.add_constraint(x[1] >= 0)
p.solve(), p.get_values(x)

(12.0, {0: 4.0, 1: -0.0})

r.eval('mean(c(1, 2, 3, 4, 5))')       # Goi R de tinh trung binh
gap.eval('Size(SymmetricGroup(3))')   # Goi GAP

var('x')
f = x^2 + 2*x + 1
show(f.factor())

plot(sin(x), (x, 0, 2*pi)).save("sin_graph.png")  # Luu do thi ra file PNG

📖 SAGEMATH NOTEBOOK¶

(Phần 1. Tổng hợp các câu lệnh cơ bản và nâng cao trong SageMath)¶

💡 Thông tin tài liệu¶

🛠️ Hướng dẫn sử dụng Notebook¶

Ngôn ngữ và biểu thức cơ bản trong SageMath¶

Cú pháp cơ bản¶

Kiểu dữ liệu phổ biến¶

Phép toán cơ bản¶

Đại số, Giải tích và Hình học trong SageMath¶

1. Đại số: Biểu thức, đa thức, khai triển, rút gọn¶

2. Phân tích đa thức: nhân tử, chia đa thức¶

3. Giải phương trình đại số¶

4. Giải tích: đạo hàm, tích phân, giới hạn¶

Các phép toán số phức trong SageMath¶

1. Khai báo và các phép toán cơ bản với số phức¶

2. Tính mô-đun, phần thực, phần ảo, liên hợp¶

3. Căn bậc hai và lũy thừa của số phức¶

4. Chuyển đổi số phức sang dạng lượng giác¶

5. Nghiệm phức của phương trình¶

6. Vẽ số phức trên mặt phẳng Argand¶

Hình học trong SageMath¶

1. Vẽ điểm và đoạn thẳng trên mặt phẳng (2D)¶

2. Vẽ đường tròn, ellipse và parabol¶

3. Vẽ đồ thị hàm số trong không gian 2D¶

4. Vẽ mặt phẳng và hàm số 3D¶

5. Vẽ mặt cầu, mặt trụ, mặt nón¶

6. Vẽ véc-tơ trong mặt phẳng¶

Làm việc với ma trận trong SageMath¶

1. Khởi tạo ma trận¶

2. Các phép toán cơ bản với ma trận¶

3. Tính định thức, nghịch đảo, hạng ma trận¶

4. Tính ma trận mũ và khai triển¶

5. Giải hệ phương trình tuyến tính¶

6. Kiểm tra độc lập tuyến tính của các vector hàng / cột¶

7. Tìm cơ sở và không gian sinh¶

8. Tính giá trị riêng và vector riêng¶

9. Chéo hóa ma trận¶

10. Ma trận chuyển cơ sở¶

Tính toán đại số trừu tượng trong SageMath¶

1. Làm việc với nhóm (Group)¶

2. Đa thức trong vành đa thức¶

3. Khai báo trường hữu hạn (Finite Field)¶

4. Tạo và kiểm tra vành¶

5. Kiểm tra tính chất đại số¶

Tổ hợp, xác suất và logic trong SageMath¶

1. Tính toán tổ hợp: tổ hợp, chỉnh hợp, giai thừa¶

2. Mô phỏng xác suất rời rạc¶

3. Biến ngẫu nhiên: phân phối nhị thức¶

4. Biểu thức logic và mệnh đề¶

5. Tập hợp và mệnh đề định lượng¶

Chuỗi số học trong SageMath¶

1. Tính tổng của chuỗi số học hữu hạn¶

2. Tính tổng chuỗi vô hạn¶

3. Khai triển chuỗi Taylor¶

4. Khai triển chuỗi Maclaurin¶

5. Chuỗi Fourier cơ bản (với hàm tuần hoàn)¶

6. Kiểm tra hội tụ chuỗi¶

Tính năng nâng cao trong SageMath¶

1. Lập trình trong SageMath (dùng Python)¶

2. Viết vòng lặp và điều kiện¶

3. Tính toán song song¶

4. Tối ưu hóa¶

5. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính¶

6. Kết nối với phần mềm khác (R, Maxima, Octave, GAP,...)¶

7. Nhúng mã Latex hoặc biểu diễn đẹp với show()¶

8. Xuất đồ thị hoặc dữ liệu¶

7. Nhúng mã Latex hoặc biểu diễn đẹp với `show()`¶